Progressão aritmética
Código EMSA-E0001-P
VIEW:594 DATA:2020-03-20
Progressão aritmética é quando vemos uma seqüência de números que são construídos por soma, ou subtração de um número.
Por exemplo.
1, 2, 3, 4, 5.
É uma progressão aritmética pois somamos mais um sempre e fazemos tal progressão.
1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1+1+1.
Veja que cada vez que eu passo para um número eu somo mais 1.
E se fosse o número dois? Teríamos.
1, 3, 5, 7, 9.
Que agora é a soma do número 2.
1, 1+2, 1+2+2, 1+2+2+2, 1+2+2+2+2.
Veja que temos os números ímpares, mas se agora ao invés de iniciar com 1, iniciemos com 0, e somássemos 2, teríamos os seguintes números.
0, 2, 4, 6, 8.
O que seria agora os números pares. Veja que apenas mudou o número inicial.
0, 0+2, 0+2+2, 0+2+2+2, 0+2+2+2+2.
Mas qual seria a serventia desse tipo de cálculo?
Vamos dizer que todo dia você posta 2 imagens em sua mídia social, quantos dias demoraria para postar 30 imagens?
Ora,poderia dividir 30 por dois e teria 15 dias.
Mas vamos ver como faz isso usando a Progressão Aritmética.
Antes não tinha imagem alguma, então minha quantidade inicial é 0. Vamos chamar de a0 (a zero).
a0=0;
Então eu coloco duas imagens no primeiro dia. Vamos chamar a quantidade de imagens no primeiro dia de a1 (a um).
a1=a0+2;
Então no segundo dia eu coloco mais duas imagens.
a2=a0+2+2;
Então no terceiro dia eu coloco mais duas imagens.
a3=a0+2+2+2;
Tente observar que temos 3 somas de número 2, não podíamos fazer uma multiplicação? Observe.
a3=a0+2+2+2=a0+3*2;
Veja que a soma de 3 números 2, é a mesma coisa que três vezes o número 2.
a3=a0+3*2;
veja que o número 3 aparece no índice. Veja se fizermos com 4.
a4=a0+4*2;
Agora que vamos fazer a mágica, ao invés de chamar de 3 ou 4 ou 5 vamos colocar n, representando qualquer número.
an=a0+n*2;
Observe com cuidado pois é a partir disso que toda a progressão aritmética se fundamenta. Esse n é a generalização para usar qualquer número, e assim podemos fazer o cálculo de números muito grandes.
Lembre-se do exemplo das imagens. Vamos ver em 15 dias, em 15 dias o "n" seria 15, e assim substituindo temos.
a15=a0+15*2;
Lembre que não tinha imagem nenhuma, então a0 (a zero) é 0.
a15=0+30=30;
Então no dia 15, teríamos 30 imagens postadas.
Mas vamos agora no dia 20. Então temos.
a20=a0+20*2=0+40=40
Ou seja no dia 20 teríamos 40 imagens postadas.
Lembre-se da generalização que fizemos.
an=a0+n*2;
Vamos dizer agora que eu coloque ao invés de duas e coloque 3 imagens, a fórmula viraria assim.
an=a0+n*3;
Mas agora vamos dizer que eu coloque 5 imagens por dia, então teríamos, essa fórmula.
an=a0+n*5;
Vamos agora chamar o número de imagens de "r", então a fórmula ficaria assim.
an=a0+n*r;
Então, agora podemos generalizar toda a nossa progressão aritmética.
Quantas imagens eu terei em 10 dias, eu não tinha nenhuma imagem e coloquei 10 imagens por dia? A fórmula seria essa.
a10=0+10*10=100;
assim em 10 dias eu terei 100 imagens. Mas se a partir de agora eu coloque 5 imagens em outros 10 dias? Lembre que agora eu já tenho 100 imagens, então o meu a0 (a zero) é 100. E agora são mais 10 dias.
a10=100+10*5=150;
Então, agora eu terei postado 150 imagens. Veja que antes nos primeiros 10 dias eu postei 100, e nos outros 10 dias somou 50, e eu teria 150 imagens.
Isso é muito útil em projetos grandes, e em programações de computador. Usa-se também para programação de jogos, na quantidade de moedas, ou objetos que o personagem obtém, e muitas outras utilizações. Lembre-se em fazer exercícios para fixar.
Por exemplo.
1, 2, 3, 4, 5.
É uma progressão aritmética pois somamos mais um sempre e fazemos tal progressão.
1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1+1+1.
Veja que cada vez que eu passo para um número eu somo mais 1.
E se fosse o número dois? Teríamos.
1, 3, 5, 7, 9.
Que agora é a soma do número 2.
1, 1+2, 1+2+2, 1+2+2+2, 1+2+2+2+2.
Veja que temos os números ímpares, mas se agora ao invés de iniciar com 1, iniciemos com 0, e somássemos 2, teríamos os seguintes números.
0, 2, 4, 6, 8.
O que seria agora os números pares. Veja que apenas mudou o número inicial.
0, 0+2, 0+2+2, 0+2+2+2, 0+2+2+2+2.
Mas qual seria a serventia desse tipo de cálculo?
Vamos dizer que todo dia você posta 2 imagens em sua mídia social, quantos dias demoraria para postar 30 imagens?
Ora,poderia dividir 30 por dois e teria 15 dias.
Mas vamos ver como faz isso usando a Progressão Aritmética.
Antes não tinha imagem alguma, então minha quantidade inicial é 0. Vamos chamar de a0 (a zero).
a0=0;
Então eu coloco duas imagens no primeiro dia. Vamos chamar a quantidade de imagens no primeiro dia de a1 (a um).
a1=a0+2;
Então no segundo dia eu coloco mais duas imagens.
a2=a0+2+2;
Então no terceiro dia eu coloco mais duas imagens.
a3=a0+2+2+2;
Tente observar que temos 3 somas de número 2, não podíamos fazer uma multiplicação? Observe.
a3=a0+2+2+2=a0+3*2;
Veja que a soma de 3 números 2, é a mesma coisa que três vezes o número 2.
a3=a0+3*2;
veja que o número 3 aparece no índice. Veja se fizermos com 4.
a4=a0+4*2;
Agora que vamos fazer a mágica, ao invés de chamar de 3 ou 4 ou 5 vamos colocar n, representando qualquer número.
an=a0+n*2;
Observe com cuidado pois é a partir disso que toda a progressão aritmética se fundamenta. Esse n é a generalização para usar qualquer número, e assim podemos fazer o cálculo de números muito grandes.
Lembre-se do exemplo das imagens. Vamos ver em 15 dias, em 15 dias o "n" seria 15, e assim substituindo temos.
a15=a0+15*2;
Lembre que não tinha imagem nenhuma, então a0 (a zero) é 0.
a15=0+30=30;
Então no dia 15, teríamos 30 imagens postadas.
Mas vamos agora no dia 20. Então temos.
a20=a0+20*2=0+40=40
Ou seja no dia 20 teríamos 40 imagens postadas.
Lembre-se da generalização que fizemos.
an=a0+n*2;
Vamos dizer agora que eu coloque ao invés de duas e coloque 3 imagens, a fórmula viraria assim.
an=a0+n*3;
Mas agora vamos dizer que eu coloque 5 imagens por dia, então teríamos, essa fórmula.
an=a0+n*5;
Vamos agora chamar o número de imagens de "r", então a fórmula ficaria assim.
an=a0+n*r;
Então, agora podemos generalizar toda a nossa progressão aritmética.
Quantas imagens eu terei em 10 dias, eu não tinha nenhuma imagem e coloquei 10 imagens por dia? A fórmula seria essa.
a10=0+10*10=100;
assim em 10 dias eu terei 100 imagens. Mas se a partir de agora eu coloque 5 imagens em outros 10 dias? Lembre que agora eu já tenho 100 imagens, então o meu a0 (a zero) é 100. E agora são mais 10 dias.
a10=100+10*5=150;
Então, agora eu terei postado 150 imagens. Veja que antes nos primeiros 10 dias eu postei 100, e nos outros 10 dias somou 50, e eu teria 150 imagens.
Isso é muito útil em projetos grandes, e em programações de computador. Usa-se também para programação de jogos, na quantidade de moedas, ou objetos que o personagem obtém, e muitas outras utilizações. Lembre-se em fazer exercícios para fixar.
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Tags
Progressão aritmética, matemática, PA, progressão, álgebra