Progressão Geométrica
Código EMSG-E1000-P
VIEW:704 DATA:2024-05-14
Progressão geométrica é uma sequência em que o termo posterior é o produto do anterior por uma constante q, dada.
Progressão geométrica é uma sequência em que o termo posterior é o produto do anterior por uma constante q, dada.
Podemos ver a definição de Progressão Geométrica pela fórmula de recorrência.
left{egin{matrix}
a_{1}=a \a_{n}=a_{n-1}.q,forall nin mathbb{N},ngeqslant 2
end{matrix} ight.
Como entender essa fórmula, primeiro temos o termo a de índice um, que é igual a um valor a. Isso quer dizer que, estou definindo um termo para ser qualquer valor, esse é meu valor inicial. Um valor qualquer.
Depois, podemos ler o termo a com índice n, o índice n é um número qualquer que tem que ser um número não negativo,e nem dízima, por serem índices únicos e inteiros, portanto pertencente aos números naturais, e tem que ser maior que 2, se não, não é uma sequência.
Podemos ler então, o termo a, índice n, é igual ao termo a, índice n menos um, vezes um valor q, de forma que todo índice n, pertence ao conjunto de números naturais, e n, é maior ou igual a 2.
Tendo em mente essa fórmula, podemos agora continuar entendendo a Progressão Geométrica.
Podemos ter uma progressão geométrica crescente, de duas formas.
Vamos observar essa fórmula de recorrência. Temos a, índice n, se for maior que o termo a, índice n menos 1, então, implica que a divisão de a, índice n, por a, índice n menos 1, essa divisão tem que ser maior que 1.
left{egin{matrix}
a_{n}>a_{n-1}Leftrightarrowfrac{a_{n}}{a_{n-1}>1}Leftrightarrow q>1a_{n}>a_{n-1} \a_{n}>a_{n-1}Leftrightarrow0end{matrix}
ight.
Vamos dizer que temos a sequência 2,4,8,16 e assim por diante. Veja, vamos dizer que o a, índice n, seja 8, e o a, índice n menos 1 seja 4, se eu dividir o a, índice n, por a, índice n menos 1, então o valor vai dar 4, e 4 é maior do que 1. Como mostra a fórmula de recorrência. Para que essa sequência seja assim, nós temos que o valor de q, é 2. Portanto, maior do que 1. Assim, toda progressão geométrica que tem o valor posterior, maior que o anterior, tem a razão entre eles maior que 1, e seu valor q será maior que 1.
Na segunda linha da fórmula de recorrência, temos agora termos negativos. Se o termo a, índice n, é menor em módulo que o termo a, índice n menos um, então, a sua divisão gera um número entre 0 e 1, então, para que os termos sejam crescentes, o q, tem que estar entre o valor zero e 1.
Por exemplo menos 54, menos 18, menos 6, menos 2, menos 2 dividido por 3, e assim por diante são termos crescentes. Assim, por exemplo se dividir menos 18, que é o termo posterior ao termo menos 54, então, teremos um número entre 0 e 1, e se formos procurar o valor multiplicativo, teremos o valor de um dividido por 3.
Podemos também ter uma PG constante. Nesse caso podemos ter duas possibilidades:
left{egin{matrix}
a_{1}=0,forall q\a^{n}=a^{n-1}Leftrightarrow frac{a^{n}}{a^{n-1}}=1Leftrightarrow q=1
end{matrix} ight.
Se o termo inicial por 0 então todos os valores dependem do produto com termo inicial, e assim todos os valores se tornam nulos seja qualquer que for o valor de q.
Outro modo é, quando os valores dos termos posterior e anterior são iguais, de forma que q possui o valor 1.
Existem ainda os alternantes, quando um valor tem sinal contrário ao anterior, isso ocorre quando o valor de q é negativo.
E ainda temos os estacionários, quando o termo inicial é diferente de zero e todos os outros são zero, isso acontece quando o valor de q é 0.
Progressão geométrica é uma sequência em que o termo posterior é o produto do anterior por uma constante q, dada.
Podemos ver a definição de Progressão Geométrica pela fórmula de recorrência.
left{egin{matrix}
a_{1}=a \a_{n}=a_{n-1}.q,forall nin mathbb{N},ngeqslant 2
end{matrix} ight.
Como entender essa fórmula, primeiro temos o termo a de índice um, que é igual a um valor a. Isso quer dizer que, estou definindo um termo para ser qualquer valor, esse é meu valor inicial. Um valor qualquer.
Depois, podemos ler o termo a com índice n, o índice n é um número qualquer que tem que ser um número não negativo,e nem dízima, por serem índices únicos e inteiros, portanto pertencente aos números naturais, e tem que ser maior que 2, se não, não é uma sequência.
Podemos ler então, o termo a, índice n, é igual ao termo a, índice n menos um, vezes um valor q, de forma que todo índice n, pertence ao conjunto de números naturais, e n, é maior ou igual a 2.
Tendo em mente essa fórmula, podemos agora continuar entendendo a Progressão Geométrica.
Podemos ter uma progressão geométrica crescente, de duas formas.
Vamos observar essa fórmula de recorrência. Temos a, índice n, se for maior que o termo a, índice n menos 1, então, implica que a divisão de a, índice n, por a, índice n menos 1, essa divisão tem que ser maior que 1.
left{egin{matrix}
a_{n}>a_{n-1}Leftrightarrowfrac{a_{n}}{a_{n-1}>1}Leftrightarrow q>1a_{n}>a_{n-1} \a_{n}>a_{n-1}Leftrightarrow0
Vamos dizer que temos a sequência 2,4,8,16 e assim por diante. Veja, vamos dizer que o a, índice n, seja 8, e o a, índice n menos 1 seja 4, se eu dividir o a, índice n, por a, índice n menos 1, então o valor vai dar 4, e 4 é maior do que 1. Como mostra a fórmula de recorrência. Para que essa sequência seja assim, nós temos que o valor de q, é 2. Portanto, maior do que 1. Assim, toda progressão geométrica que tem o valor posterior, maior que o anterior, tem a razão entre eles maior que 1, e seu valor q será maior que 1.
Na segunda linha da fórmula de recorrência, temos agora termos negativos. Se o termo a, índice n, é menor em módulo que o termo a, índice n menos um, então, a sua divisão gera um número entre 0 e 1, então, para que os termos sejam crescentes, o q, tem que estar entre o valor zero e 1.
Por exemplo menos 54, menos 18, menos 6, menos 2, menos 2 dividido por 3, e assim por diante são termos crescentes. Assim, por exemplo se dividir menos 18, que é o termo posterior ao termo menos 54, então, teremos um número entre 0 e 1, e se formos procurar o valor multiplicativo, teremos o valor de um dividido por 3.
Podemos também ter uma PG constante. Nesse caso podemos ter duas possibilidades:
left{egin{matrix}
a_{1}=0,forall q\a^{n}=a^{n-1}Leftrightarrow frac{a^{n}}{a^{n-1}}=1Leftrightarrow q=1
end{matrix} ight.
Se o termo inicial por 0 então todos os valores dependem do produto com termo inicial, e assim todos os valores se tornam nulos seja qualquer que for o valor de q.
Outro modo é, quando os valores dos termos posterior e anterior são iguais, de forma que q possui o valor 1.
Existem ainda os alternantes, quando um valor tem sinal contrário ao anterior, isso ocorre quando o valor de q é negativo.
E ainda temos os estacionários, quando o termo inicial é diferente de zero e todos os outros são zero, isso acontece quando o valor de q é 0.
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