Quando temos números multiplicando, podemos utilizar de um mecanismo matemático que facilita o cálculo, que é a potenciação. Assim, se temos 2 vezes 2, podemos escrever que cada valor tenha um número 1 no expoente. E assim somamos os expoentes. Então, 2 elevado a 2 é 4, que é o 2 vezes 2. Quando temos o 2 como divisor, então o valor do expoente é -1. Se colocarmos 2 vezes 1 dividido por dois, temos 2 elevado a 1, vezes 2 elevado a menos 1. Temos, então 2 elevado a 1 menos 1, que é zero. Veja que 2 dividido por 2 é 1, de fato todo número dividido por ele mesmo é 1, assim todo número elevado a 0 é 1, pois quando o expoente é zero, representa que o número está sendo dividido por ele mesmo.
Assim, seja a qualquer número quando este número é elevado a 0 o resultado é 1.
Podemos agora fazer algumas provas de propriedades matemáticas.
Seja 2 vezes 2, então temos que existe um expoente 1 sobre cada valor 2, e assim podemos somar os expoentes, e temos 2 elevado a dois. Sabemos que todos os números podem ser multiplicados por 1, que o valor não altera. Também sabemos que qualquer número dividido por ele mesmo resulta no valor 1. Então o 1, pode se tornar 2 dividido por dois, novamente todo número tem um expoente 1. Assim, podemos colocar o 2 elevado a 2 dividido por dois, vezes 2. Sabendo que quando está dividindo o expoente se torna negativo. O expoente do 2 elevado a 2, pode ser subtraído pelo expoente que está dividindo. Gerando 2 vezes 2. Veja que pode parecer desnecessário a prova matemática, mas a compreensão dela faz com que entenda o porquê das coisas.
Se temos 0 elevado a 3, temos 0 vezes 0 vezes 0 que é igual a 0.
Mas se tivermos 0 elevado a 0, temos o valor de 1. Que seria 0 dividido por 0. Mas 0 dividido por 0 não possui lógica. Zero não pode ser divisor. Então por que 0 elevado a 0 é 1? Lembre-se que 2 dividido por 2 é 1, e 1 dividido por 1 é 1, mas se dividirmos 0,5 por 0,5? o valor é 1, e se dividirmos um valor muito pequeno por esse valor muito pequeno? O valor é 1. Assim,se dividirmos por um valor infinitamente pequeno, por outro infinitamente pequeno, o valor é um. Ora, um valor infinitamente pequeno é quase zero. Assim para cálculos simples, definimos que 0 elevado a 0 é 1. Mas se realmente formos criteriosos, e desejamos não imaginar o infinitamente pequeno como 0, mas sim o 0 mesmo, então 0 elevado a 0 não existe.
Mas por convenção matemática, em cálculos simples temos que 0 elevado a 0 é 1.
Assim, generalizando, um "a" elevado a um número "n", é n vezes esse número multiplicado por si mesmo.